Fonctions usuelles

Fonctions affines

Soient $A (3;-1)$ et $B (-5, -2)$ deux points du plan dans un repère orthonormé. Donner l'équation de la droite $(AB)$. Donner les tableaux de variations et de signes de la droite $(AB)$. Indice 1

(question 1)

 Calculer le coefficient directeur $a$, puis l'ordonnée à l'origine $b$ Indice 2

(question 1)

 $a = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B}$ Indice 3

(question 1)

 $y_A = a x_A + b$ ou $y_B = a x_B + b$ Indice 4

(question 2)

 Le sens de variation d'une droite ne change pas et dépend du signe de son coefficient directeur Indice 5

(question 2)

 Trouver en premier la valeur $x$ pour laquelle s'annule la fonction Indice 6

(question 2)

 La fonction s'annule en $x = \frac{-b}{a}$ Dans un repère orthornormé $(O;I;J)$, tracer les droites d'équations : $ D : y = 3 x + 2 $ $ D' : y = \frac{x}{3} - 2 $ $ D'': y = \frac{2 x}{5} $ Indice 1 Pour tracer une droite, il suffit d'avoir les coordonnées de deux points. Indice 2

Choisir deux abscisses $x_A$ et $x_B$

Calculer les ordonnées correspondantes $y_A$ et $y_B$

Placer les points $A$ et $B$

Etudes de signes

Etudier le signe des fonction suivantes : $f (x) = 3 x - 1$ sur $\mathbb{R}$ $f (x) = \frac{-2}{3} x - \frac{2}{5}$ sur $\mathbb{R}$ $f (x) = (- x + 2)(6 x - 7)$ sur $\mathbb{R}$ $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ $f (x) = x^2 - 25$ sur $\mathbb{R}$ $f (x) = 4 x^2 - 16$ sur $\mathbb{R}$ $f (x) = x^2 - 5$ sur $\mathbb{R}$ $f (x) = \sqrt{x} (2x^2 - 3)$ sur $\mathbb{R}$ Indice 1 $f$ est une fonction affine croissante. Déterminer la valeur $x$ pour laquelle s'annule la fonction puis en déduire son signe. Indice 2 $f$ est une fonction affine décroissante. Déterminer la valeur $x$ pour laquelle s'annule la fonction puis en déduire son signe. Indice 3 $f$ est le produit de deux fonctions affines. Déterminer le signe de chacune, puis conclure en utilisant la règle du signe d'un produit. Indice 4 $f$ est le quotient de deux fonctions affines. Déterminer le signe de chacune, puis multiplier les signes.

Penser à la valeur interdite au dénominateur.

Indice 5 Reconnaître l'identité remarquable $a^2 - b^2$ : pour obtenir le produit de deux fonctions affines. Puis raisonner comme à la question précédente. Indice 6 Même astuce qu'à la question précédente : $$ 4x^2 = (2x)^2 $$ Indice 7 Même astuce qu'à la question précédente : $$ 5 = \sqrt(5)^2 $$ Indice 8 Même astuce qu'à la question précédente : $$ 2x^2 = (\sqrt{2}x)^2 $$ On obtient le produit de 3 fonctions.

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes : $ \frac{x+2}{-4x+1} \lt 0 $ $ \frac{7x-1}{(-5x+2)^2} \lt 0 $ $\frac{2x-5}{-x+7}\geq 1$ $ \frac{1}{x} \geq \frac{3}{-7+6x} $ $x^2 \leq 5 $ $ \sqrt{x} \lt 2 $ $ x^3 \leq 8 $ Indice 1 Etudier les signes des numérateurs et dénominateurs. Attention à la valeur interdite. Indice 2 Pareil que pour la question précédente Indice 3 Faire apparaître 0 à droite. Réduire au même dénominateur avant d'étudier le signe. Indice 4 Pareil que pour la question précédente Indice 5 Faire apparaître une identité remarquable Indice 6 On peut s'appuyer sur le tableau de variations de la fonction racine carré. Indice 7 Pareil que pour la question précédente

Ensembles de définition

Quel sont les ensembles de définition des fonctions suivantes : $f (x) = \frac{ x }{ 2 x - 1} $ $g (x) = \frac{x^2 + 1}{2 - 3 x} $ $h (x) = \frac{3 + x^2}{1 + x^2} $ $i (x) = \frac{2 + x^3}{1 - x^2}$ $j (x) = \sqrt{2 - x} $ $k (x) = \sqrt{(1+x)(4x - 1)}$ $l (x) = \sqrt{x^2 - 7} $ $m (x) = \sqrt{x^2 + 1}$ Indice 1 L'ensemble de définition étant l'ensemble des valeurs $x$ autorisées, chercher les valeurs interdites éventuelles. Indice 2

(question 1)

 La valeur interdite est celle pour laquelle le dénominateur s'annule Indice 3

(question 1)

 Résoudre $2x - 1 = 0$. La valeur $x_0$ obtenue est la valeur interdite. Indice 4

(question 1)

 L'ensemble des nombres réels est $\mathbb{R}$. L'ensemble de définition est $\mathbb{R} \backslash \{x_0\}$ (tous sauf $x_0$) Indice 5

(question 2)

 Même raisonnement avec le dénominateur $2-3x$ Indice 6

(question 3)

 Le dénominateur $1+x^2$ peut-il s'annuler ? Indice 7

(question 4)

 Reconnaître une identité remarquable au dénominateur. Il peut s'annuler en deux valeurs. Indice 8

(question 5)

 Le raisonnement n'est pas le même avec une racine carrée. Les valeurs autorisées sont celles qui permettent que $2-x$ soit positif. Indice 9

(question 5)

 Etudier le signe de la fonction affine $2-x$. On retient l'intervalle sur leque $2-x \geq 0$ Indice 10

(question 6)

 Même raisonnement en étudiant le signe de la fonction produit $x \mapsto (1+x)(4x-1)$ Indice 11

(question 7)

 Même raisonnement en reconnaissant une identité remarquable... Indice 12

(question 8)

 La fonction $x \mapsto x^2 + 1$ peut-elle être négative ?

Variations

Comparer sans utiliser la calculatrice : $\pi ^ 2 - 1 $ et $3,14^2 - 1$ $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\sqrt{7}$ et $ \sqrt{8} $ $|-2|$ et $|-4|$ $\frac{2}{\sqrt{2 + \pi}}$ et $\frac{2}{\sqrt{5}}$ $\frac{-1}{\sqrt{3}}$ et $\frac{-1}{\sqrt{5}}$ $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ et $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ $(1 - \sqrt{3})^2$ et $(1 - \sqrt{5})^2$ Indice 1

(question 1)

 Commencer par comparer $\pi$ et $3,14$ : $$ \pi \gt 3,14 $$ Indice 2

(question 1)

La fonction carré est croissante sur $[0,+\infty[$. Elle conserve donc l'ordre :

$$ \pi^2 \gt 3,14^2 $$ Indice 3

(question 1)

On ne change pas le sens des inégalités en retranchant $1$ : $$ \pi^2 - 1 \gt 3,14^2 - 1 $$ Indice 4

(question 2)

Commencer par comparer $2$ et $\sqrt{2}$ Indice 5

(question 2)

La fonction inverse est décroissante et inverse donc l'ordre Indice 6 Reconnaître les deux valeurs de départ à comparer, puis la (les) fonction(s) à appliquer (attention à l'intervalle de définition). 2 - Prouver que la fonction $ x \mapsto (x - 1)^2$ est croissante sur $[1;+\infty[$. Prouver que la fonction $ x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ est croissante sur $[0;+\infty[$. Prouver que la fonction $ x \mapsto \frac{-1}{2x + 1}$ est croissante sur $]-\frac{1}{2};+\infty[$. Indice 1

(question 1)

 Poser $f(x) = x-1$ et $g(X) = X^2 $. Déterminer leurs variations sur l'intervalle de définition. Indice 2

(question 1)

 La fonction étudiées et la composée $x \mapsto g(f(x))$. Indice 3

(question 1)

Poser deux réels $x,y \ in [1;+\infty[$ tels que $x\lt y$.

Raisonner pour démontrer que $g(f(x)) \lt g(f(y))$

Indice 4

(question 2)

 Raisonner de la même manière avec les fonction $f(x) = x^2+1$ et $g(X) = \sqrt{X}$ Indice 5

(question 3)

 Raisonner de la même manière avec les fonction $f(x) = 2x+1$ et $g(X) = -\frac{1}{x}$